Astronomia - Sistemas de coordenadas #1


Uma forma interessante de observar os movimentos dos astros em relação a Terra é observá-los em vários dias ao longo do ano, sempre no mesmo horário. Desta forma eliminamos o movimento de rotação terrestre. Vejamos por exemplo o movimento do Sol.




Mas por que o Sol descreve essa trajetória no céu? Observe a imagem acima com atenção. Note que a posição do Sol ao longo do ano varia  "para baixo" e "para cima" (Norte e Sul), de acordo com as estações, mas também para direita e para a esquerda (Leste e Oeste).

Para melhor qualificar observações, é preciso definir grandezas físicas e unidades de medida. O objetivo aqui é medir posição. Para medir posição será necessário definir um referencial. Além do referencial é necessário definir um sistema de coordenadas. Vários sistemas de coordenadas podem ser utilizados para medir posição dos astros. Um desses sistemas de coordenadas é o sistema horizontal.

O sistema horizontal é um sistema local. As coordenadas azimute e altura dependem do lugar e do instante da observação. Essas coordenadas são:
  • Azimute (A): é o ângulo medido sobre o horizonte, no sentido horário, com origem no Norte geográfico e extremidade no círculo vertical do astro. O azimute varia entre 0° e 360°.

  • Altura (h): é o ângulo medido sobre o círculo vertical do astro, com origem no horizonte e extremidade no astro. A altura varia entre -90° e +90°. 
Utilizando este sistema é possível qualificar melhor as observações. Por exemplo:

A posição do sol em Curitiba no dia 22/09/2012 às 14h37min foi A=56,98° e h=316,93°.


Referências:

O problema do ensino da órbita da Terra  - http://www.sbfisica.org.br/fne/Vol4/Num2/v4n2a06.pdf
Sistemas de coordenadas em astronomia - http://astro.if.ufrgs.br/coord.htm







Astronomia - Sistemas de coordenadas #2

    O sistema de coordenadas alto azimutais é amplamente utilizado em astronomia para descrever a posição de um objeto celeste no céu em relação a um observador em um local específico. Este sistema é baseado em dois parâmetros: a altitude e o azimute.


1. Altitude (ou elevação)

  • Mede o ângulo do objeto acima do horizonte.
  • Valores variam de 0∘0^\circ (no horizonte) a 90∘90^\circ (no zênite, ponto diretamente acima do observador).
  • Objetos abaixo do horizonte têm altitudes negativas.

2. Azimute

  • Mede o ângulo ao longo do horizonte a partir do norte verdadeiro.
  • Geralmente, 0∘0^\circ corresponde ao norte, 90∘90^\circ ao leste, 180∘180^\circ ao sul, e 270∘270^\circ ao oeste.

Pontos de referência do sistema

  • Zênite: O ponto diretamente acima do observador (90∘90^\circ de altitude).
  • Nadir: O ponto diretamente abaixo do observador (−90∘-90^\circ de altitude).
  • Horizonte: O plano tangente à superfície da Terra no local do observador (0∘0^\circ de altitude).




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Qual a área da figura central ?

 



O problema pode ser reduzido ao cálculo da integral da função y(x): $$ \int_{0}^{\tfrac{1}{2}} y(x)\,dx = \int_{0}^{\tfrac{1}{2}} 1\,dx - \int_{0}^{\tfrac{1}{2}} \sqrt{1 - x^{2}}\,dx $$  

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Teoria da Mecânica Quântica - E. Schrödinger (1926)





    A equação de Schrödinger é a formulação matemática central da mecânica quântica que descreve como o estado de um sistema quântico evolui no tempo. Em vez de fornecer trajetórias determinísticas, como na mecânica clássica, ela rege a evolução da função de onda chamada “psi”, objeto que contém todas as informações mensuráveis sobre o sistema. A partir dessa função extraímos probabilidades e expectativas de grandezas físicas.


Eis a equação de Schrödinger na sua forma compacta:


$$ \hat{E} \Psi(s,t) = \hat{H} \Psi(s,t) $$


E na sua forma explícita: 


$$   i \hbar \frac{\partial \Psi(s,t)}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}  \frac{\partial^2 \Psi(s,t)}{\partial s^2} + V(x) \Psi(s,t) $$



A equação de Schrödinger é uma...



• Equação diferencial


 Igualdade que envolve uma função desconhecida e suas derivadas.


• Equação diferencial parcial (EDP)


 Equação com derivadas parciais em relação a mais de uma variável independente.


• Complexa (números complexos)


 Função que assume valores complexos, com parte real e imaginária.


• Probabilística


 O quadrado do módulo da função indica a probabilidade de encontrar a partícula em certo lugar e tempo.


• Quadridimencional


A equação possui 4 variáveis independentes: x, y, z e t . É possível simplificá-la para tornar a resolução mais simples. 


• Envolve o conceito de Comportamento ondulatório de uma partícula

Onda (em mecânica quântica): É a manifestação ondulatória de uma partícula descrita pela função de onda, representando a distribuição de probabilidades de suas propriedades no espaço e no tempo.


• Envolve o conceito de Operadores

São ferramentas matemáticas que atuam sobre a função de onda para medir grandezas físicas; o operador Hamiltoniano representa a energia total do sistema e determina sua evolução temporal, enquanto o operador energia quantifica a energia associada a um estado quântico específico.




Perguntas: 


Qual o objetivo da equação de Schröedinger ?

A equação descreve o comportamento de partículas de tamanho atômico, ou seja, cerca de 100 milhões de vezes menor que 1 mm. Portanto ela pode descrever tanto o comportamento de átomos, como de elétrons, prótons, dentre outras partículas. 


Quais informações são inseridas na equação ?

Informações sobre a “situação” da partícula, como a energia ao redor dela e sua massa. 


Quais informações são obtidas após a resolução da equação ?

Onde a partícula tem mais chance de estar e quais energias ela pode ter.


Exemplo:

Quando resolvemos uma equação diferencial não encontramos um número como x = 3 , que poderia representar a posição de uma partícula. A solução de uma equação diferencial é uma função. Tal como y(x) = 2 * x + 1. Uma função fornece mais informações do que simplesmente um número. Ela fornece uma relação entre dois conjuntos numéricos.

No caso da equação que estamos tratando aqui, sua solução pode, por exemplo, fornecer as probabilidades de encontrarmos o elétron ( exemplo de partícula ) em torno do átomo em diversas posições diferentes. Veja o gráfico a abaixo:



Esse gráfico* foi feito através da solução da equação de Schröedinger para os elétrons do átomo de Hidrogênio. As "nuvens azuis" no desenho são a representação gráfica de uma função matemática (solução) que descreve uma densidade espacial de probabilidades. Ou seja, onde (em quais posições) é mais provável que os elétrons sejam encontrados. 



* Plots of Quantum Probability Density Functions in the Hydrogen Atom | Wolfram Demonstrations Project


 








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Mecânica - Corrida das bolinhas



Duas bolinhas idênticas, ambas com velocidades iniciais iguais, percorrem caminhos diferentes até o ponto B. Qual das duas chega primeiro ao ponto B?

a) Se não houver atrito entre as superfícies.
b) Se houver atrito entre as superfícies.

A ilustração abaixo foi feita utilizando o software Interactive Physics, no qual é possível fazer uma simulação do problema (com atrito e sem atrito).



Veja a experiência para o caso com atrito:



Demonstrações do IFUSP

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