1) Qual seria o tamanho da sombra em função do tempo?
$$ S(t) =\ ? $$
2) Qual seria a velocidade de crescimento do tamanho da sombra?
$$ S'(t) =\ ? $$
Para simplificar o problema, considere que a altura do objeto seja de 1 m. E além disso esteja localizada em alguma cidade sobre a linha do equador durante o equinócio. Caso não queira simplificar, considere o problema em três dimensões, a latitude que desejar na estação do ano que preferir.
Considere também que o Oeste está do lado direito da figura abaixo, ou seja, o tamanho da sombra (após o meio-dia) cresce com o passar das horas. Sendo assim:
Uma possível solução:
$$ S = tan (\alpha) $$
Mas $$ \alpha $$ é função do tempo,
$$ \alpha (t) = \omega t $$
Considerando a velocidade angular de rotação terrestre,
$$ \omega = \frac{\pi}{12} rad/h $$
Portanto,
$$ S(t) = tan(\alpha (t)) $$
Para obter a velocidade fazemos a derivada da função S(t) em relação a t.
$$ S'(t) = \omega \ sec^2( \omega \ t ) $$
Para obter a velocidade fazemos a derivada da função S(t) em relação a t.
$$ S'(t) = \omega \ sec^2( \omega \ t ) $$
Interpretação:
O interessante é que a velocidade de crescimento não é constante, ela é maior no início da manhã e ao final da tarde. Além disso a velocidade de crescimento nesses horários teoricamente tende ao infinito.
O resultado mostra que deve ser mais fácil perceber o movimento da sombra pela manhã ou ao fim da tarde. Apesar disso, a intensidade luminosa nesses horários é baixa, o que dificulta a visualização da sombra.
O resultado mostra que deve ser mais fácil perceber o movimento da sombra pela manhã ou ao fim da tarde. Apesar disso, a intensidade luminosa nesses horários é baixa, o que dificulta a visualização da sombra.
Considerei o tempo em horas e o tempo inicial igual a zero no momento em que o Sol está no zênite, ou seja, meio-dia.
Modelo no MATLAB:
Vamos interpretar o gráfico acima. Qual o tamanho da sombra em t = 0h ? ( Lembrando que t=0 significa meio-dia ) Zero, certo ? Faz sentido ? Com certeza. Lembre-se que estamos no Equador ( Latitude 0º ). Caso estivéssemos em um local com uma latitude diferente, a sombra ficaria na mesma direção da localidade ( Sombra ao sul para latitudes S, sombra ao norte para latitudes N, na época do ano correspondente a um equinócio.)
Na medida em que a tarde avança o tamanho da sombra também aumenta cada vez mais.