A dedução da equação da onda eletromagnética a partir das equações de Maxwell representa um dos resultados mais notáveis da Física do século XIX. Até meados daquela época, eletricidade, magnetismo e óptica eram estudados como fenômenos essencialmente distintos. Os trabalhos experimentais de pesquisadores como Hans Christian Ørsted, Michael Faraday e André-Marie Ampère revelaram uma profunda relação entre campos elétricos e magnéticos, fornecendo as bases para uma teoria unificada. Coube a James Clerk Maxwell sintetizar esses conhecimentos em um conjunto de equações diferenciais capazes de descrever, de forma consistente, o comportamento dos campos eletromagnéticos.
Ao analisar matematicamente suas equações, Maxwell percebeu que elas admitiam soluções na forma de ondas que se propagavam no espaço, mesmo na ausência de cargas e correntes elétricas. A velocidade prevista por essas ondas dependia apenas das constantes fundamentais do vácuo, a permissividade elétrica ($\varepsilon_0$) e a permeabilidade magnética ($\mu_0$), coincidindo com o valor experimentalmente conhecido para a velocidade da luz. Essa notável concordância levou Maxwell à conclusão de que a própria luz é uma onda eletromagnética, estabelecendo uma conexão definitiva entre o eletromagnetismo e a óptica.
A seguir será apresentada a dedução da equação da onda eletromagnética a partir das equações de Maxwell no vácuo. A demonstração evidencia como a variação temporal de um campo elétrico induz um campo magnético variável e vice-versa, permitindo que ambos se sustentem mutuamente e se propaguem pelo espaço na forma de ondas eletromagnéticas. Além de sua elegância matemática, essa dedução constitui um dos pilares da Física moderna, servindo de fundamento para a compreensão de fenômenos como a propagação da luz, das ondas de rádio, das micro-ondas, dos raios X e de toda a radiação eletromagnética.
Este símbolo representa um operador diferencial vetorial amplamente utilizado em cálculo vetorial, eletromagnetismo e diversas áreas da Física e da Engenharia. Seu nome deriva de um antigo instrumento musical de cordas chamado nabla, cuja forma lembra um triângulo invertido.
Em coordenadas cartesianas, o operador nabla é definido por
Dependendo da forma como atua sobre uma função escalar ou sobre um campo vetorial, o operador nabla dá origem às principais operações do cálculo vetorial. Quando aplicado a uma função escalar (f), produz o gradiente, ($\nabla f$), que indica a direção de maior crescimento da função. Quando combinado pelo produto escalar com um campo vetorial ($\mathbf{F}$), resulta no divergente, ($\nabla\cdot\mathbf{F}$), que mede a intensidade das fontes ou sumidouros do campo. Finalmente, quando combinado pelo produto vetorial, produz o rotacional, ($\nabla\times\mathbf{F}$), que descreve a tendência do campo de girar em torno de um ponto. Essas três operações constituem a base da formulação moderna das equações de Maxwell e de grande parte da teoria dos campos.
Considere as equações de Maxwell em uma região do espaço livre de cargas elétricas e correntes, isto é,
\[ \rho = 0,\qquad \mathbf{J}=0. \]Nessa região, as equações de Maxwell assumem a forma
\[ \nabla\cdot\mathbf{E}=0 \tag{2} \] \[ \nabla\cdot\mathbf{B}=0 \tag{3} \] \[ \nabla\times\mathbf{E} = -\mu_0\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} \tag{4} \] \[ \nabla\times\mathbf{B} = \varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} \tag{5} \]O objetivo é obter uma equação envolvendo apenas o campo elétrico e outra envolvendo apenas o campo magnético.
Equação de onda para o campo elétrico
Aplicando o operador rotacional em ambos os lados da Lei de Faraday, obtém-se
\[ \nabla\times(\nabla\times\mathbf{E}) = -\mu_0 \frac{\partial}{\partial t} (\nabla\times\mathbf{B}). \tag{6} \]Em seguida, substitui-se a Lei de Ampère-Maxwell,
\[ \nabla\times\mathbf{B} = \varepsilon_0 \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}, \tag{7} \]resultando em
\[ \nabla\times(\nabla\times\mathbf{E}) = -\mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}. \tag{8} \]Utilizando a identidade vetorial
\[ \nabla\times(\nabla\times\mathbf{E}) = \nabla(\nabla\cdot\mathbf{E}) - \nabla^2\mathbf{E}, \tag{9} \]e lembrando que
\[ \nabla\cdot\mathbf{E}=0, \tag{10} \]segue que
\[ -\nabla^2\mathbf{E} = -\mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}. \tag{11} \]Multiplicando ambos os lados por $-1$, obtém-se
\[ \boxed{ \nabla^2\mathbf{E} = \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}. } \tag{12} \]Essa é a equação de onda para o campo elétrico.
Equação de onda para o campo magnético
O procedimento é análogo.
Aplicando o operador rotacional à Lei de Ampère-Maxwell,
\[ \nabla\times(\nabla\times\mathbf{B}) = \varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} (\nabla\times\mathbf{E}). \tag{13} \]Substituindo a Lei de Faraday,
\[ \nabla\times\mathbf{E} = -\mu_0 \frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}, \tag{14} \]obtém-se
\[ \nabla\times(\nabla\times\mathbf{B}) = -\mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial^2\mathbf{B}}{\partial t^2}. \tag{15} \]Aplicando novamente a identidade vetorial
\[ \nabla\times(\nabla\times\mathbf{B}) = \nabla(\nabla\cdot\mathbf{B}) - \nabla^2\mathbf{B}, \tag{16} \]e usando
\[ \nabla\cdot\mathbf{B}=0, \tag{17} \]segue que
\[ -\nabla^2\mathbf{B} = -\mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial^2\mathbf{B}}{\partial t^2}. \tag{18} \]Finalmente,
\[ \boxed{ \nabla^2\mathbf{B} = \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial^2\mathbf{B}}{\partial t^2}. } \tag{19} \]Portanto, tanto o campo elétrico quanto o campo magnético satisfazem a mesma equação de onda, diferindo apenas pela grandeza física representada.
Conclusão
As equações de onda obtidas para os campos elétrico e magnético mostram que ambos se propagam pelo vácuo na forma de ondas com a mesma velocidade, ($c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}$). À primeira vista, essas equações parecem independentes, pois cada uma envolve apenas um dos campos. No entanto, elas foram deduzidas a partir das equações de Maxwell, nas quais os campos elétrico e magnético estão diretamente relacionados: uma variação temporal do campo elétrico produz um campo magnético variável, e uma variação temporal do campo magnético produz um campo elétrico variável. As equações de onda são, portanto, uma consequência desse acoplamento entre os campos. Esse resultado foi decisivo para a Física, pois mostrou que a luz é uma onda eletromagnética e estabeleceu uma teoria unificada para descrever fenômenos elétricos, magnéticos e ópticos.
Embora a previsão teórica das ondas eletromagnéticas tenha sido realizada por James Clerk Maxwell em 1873, a dedução apresentada neste texto utiliza a formulação vetorial desenvolvida posteriormente por Oliver Heaviside (1885) e, de forma independente, por Josiah Willard Gibbs, cuja notação tornou-se o padrão adotado no ensino e na pesquisa em eletromagnetismo.
Referência
HECHT, Eugene. Óptica. 2. ed. Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian, 2002. Apêndice 1 – Teoria Electromagnética.