Solução para o problema do Iglu

 

   Esse não é um problema trivial de mecânica ou pelo menos não para o Ensino Médio. Envolve a interpretação do conceito de força centrípeta, dentre outros conceitos de mecânica. Vou apresentar uma solução possível para o problema, embora independentemente da solução o resultado será o mesmo. 

     Também não vou considerar as dimensões da esfera, ou seja, será considerada um ponto material. 

   Abaixo um diagrama de forças que ilustra as forças normal e peso em um sistema de coordenadas cartesianas centrado da esfera. Pt e Pr são as componentes tangencial e radial do vetor força peso. 

  Tudo começa quando a esfera é perturbada. Após a perturbação, temos as seguintes forças atuando na esfera:

a) Força peso

$ P = m . g $

b) Força normal 

$ N = Pr $

  Vamos decompor a força Peso em duas componentes. Uma componente radial e outra tangencial. 

$ P_r = m g cos (\theta) $

$ P_t = m g sen (\theta) $

   Vamos revisar a interpretação de força centrípeta. A força centrípeta é a força necessária para que um corpo mantenha uma trajetória circular, definida como:

$ F_c = \frac{ m  v^2 }{R} $  

     Isso significa que podemos calcular a velocidade limite para manter a esfera em trajetória circular, ou seja, em contato com o iglu. Em seguida podemos comparar essa velocidade limite com a velocidade da esfera calculada utilizando o teorema da conservação da energia mecânica. O ângulo onde a velocidade da esfera se iguala a velocidade limite, será o ângulo onde ela perderá o contato com a superfície do iglu.

    Vamos então calcular a velocidade limite:

$ - F_c = N - P_r $

Nesse limite a normal será nula, portanto:

$ F_c = P_r $

$  \frac{ m  v^2 }{R} = m g \cos \theta $

 Isolando a velocidade limite:

$ v_\text{lim} = \sqrt{ g R \cos \theta } $

O valor da velocidade em qualquer ponto da trajetória pode ser obtido através do teorema da conservação da energia mecânica:

$ v = \sqrt{ 2gR (1 - \cos\theta) } $

Sabemos que no ponto em que a esfera perde o contato com a superfície temos a velocidade limite. E essa velocidade é igual v. Portanto,

$ v_{lim} = v $

$ \sqrt{ gR \cos \theta } = \sqrt{ 2gR (1 - \cos \theta) } $

Simplificando,

$  3 \cos \theta = 2   $

Resolvendo para o ângulo theta:

$ \theta = \arccos\left(\frac{2}{3}\right) = 0,841 \ rad $

Convertendo esse valor para graus e considerando a referência no solo, temos um ângulo de:

$ \theta = 41,81 \textdegree $

Finalmente! A partir deste ângulo a esfera perde contato com o iglu.

Gráfico da velocidade e também da velocidade limite (onde ocorre a perda de contato com a superfície). Para R = 1 m ;  g = 9,81 m/s^2 .

>> Voltar para o enunciado <<