Esse não é um problema trivial de mecânica ou pelo menos não para o Ensino Médio. Envolve a interpretação do conceito de força centrípeta, dentre outros conceitos de mecânica. Vou apresentar uma solução possível para o problema, embora independentemente da solução o resultado será o mesmo.
Também não vou considerar as dimensões da esfera, ou seja, será considerada um ponto material.
Abaixo um diagrama de forças que ilustra as forças normal e peso em um sistema de coordenadas cartesianas centrado da esfera. Pt e Pr são as componentes tangencial e radial do vetor força peso.
Tudo começa quando a esfera é perturbada. Após a perturbação, temos as seguintes forças atuando na esfera:
a) Força peso
b) Força normal
Vamos decompor a força Peso em duas componentes. Uma componente radial e outra tangencial.
Vamos revisar a interpretação de força centrípeta. A força centrípeta é a força necessária para que um corpo mantenha uma trajetória circular, definida como:
Isso significa que podemos calcular a velocidade limite para manter a esfera em trajetória circular, ou seja, em contato com o iglu. Em seguida podemos comparar essa velocidade limite com a velocidade da esfera calculada utilizando o teorema da conservação da energia mecânica. O ângulo onde a velocidade da esfera se iguala a velocidade limite, será o ângulo onde ela perderá o contato com a superfície do iglu.
Vamos então calcular a velocidade limite:
Nesse limite a normal será nula, portanto:
Isolando a velocidade limite:
O valor da velocidade em qualquer ponto da trajetória pode ser
obtido através do teorema da conservação da energia mecânica:
Sabemos que no ponto em que a esfera perde o contato com a superfície temos a velocidade limite. E essa velocidade é igual v. Portanto,
Simplificando,
Resolvendo para o ângulo theta:
Convertendo esse valor para graus e considerando a referência no solo, temos um ângulo de:
Finalmente! A partir deste ângulo a esfera perde contato com o iglu.
Gráfico da velocidade e também da velocidade limite (onde ocorre a perda de contato com a superfície). Para R = 1 m ; g = 9,81 m/s^2 .
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