Teoria da Mecânica Quântica - E. Schrödinger (1926)

    A equação de Schrödinger é a formulação matemática central da mecânica quântica que descreve como o estado de um sistema quântico evolui no tempo. Em vez de fornecer trajetórias determinísticas, como na mecânica clássica, ela rege a evolução da função de onda chamada “psi”, objeto que contém todas as informações mensuráveis sobre o sistema. A partir dessa função extraímos probabilidades e expectativas de grandezas físicas.

Eis a equação de Schrödinger na sua forma compacta:

$$ \hat{E} \Psi(s,t) = \hat{H} \Psi(s,t) $$

E na sua forma explícita: 

$$   i \hbar \frac{\partial \Psi(s,t)}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}  \frac{\partial^2 \Psi(s,t)}{\partial s^2} + V(x) \Psi(s,t) $$

A equação de Schrödinger é uma...

• Equação diferencial

Igualdade que envolve uma função desconhecida e suas derivadas.

• Equação diferencial parcial (EDP)

Equação com derivadas parciais em relação a mais de uma variável independente.

• Complexa (números complexos)

Função que assume valores complexos, com parte real e imaginária.

• Probabilística

O quadrado do módulo da função indica a probabilidade de encontrar a partícula em certo lugar e tempo.

• Quadridimencional

A equação possui 4 variáveis independentes: x, y, z e t . É possível simplificá-la para tornar a resolução mais simples. 

• Envolve o conceito de Comportamento ondulatório de uma partícula

Onda (em mecânica quântica): É a manifestação ondulatória de uma partícula descrita pela função de onda, representando a distribuição de probabilidades de suas propriedades no espaço e no tempo.

• Envolve o conceito de Operadores

São ferramentas matemáticas que atuam sobre a função de onda para medir grandezas físicas; o operador Hamiltoniano representa a energia total do sistema e determina sua evolução temporal, enquanto o operador energia quantifica a energia associada a um estado quântico específico.

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Perguntas: 

Qual o objetivo da equação de Schröedinger ?

A equação descreve o comportamento de partículas de tamanho atômico, ou seja, cerca de 100 milhões de vezes menor que 1 mm. Portanto ela pode descrever tanto o comportamento de átomos, como de elétrons, prótons, dentre outras partículas. 

Quais informações são inseridas na equação ?

Informações sobre a “situação” da partícula, como a energia ao redor dela e sua massa. 

Quais informações são obtidas após a resolução da equação ?

Onde a partícula tem mais chance de estar e quais energias ela pode ter.

Exemplo:

Quando resolvemos uma equação diferencial não encontramos um número como x = 3 m, o que poderia ser a posição de um partícula. Ao contrário disso, a solução de uma equação diferencial é uma função. Tal como y(x) = 2 * x + 1. Uma função fornece mais informações do que simplesmente um número. Ela fornece uma relação entre dois conjuntos numéricos.

No caso da equação que estamos tratando aqui, sua solução pode, por exemplo, fornecer as probabilidades de encontrarmos o elétron ( exemplo de partícula ) em torno do átomo em diversas posições diferentes. Veja o gráfico a abaixo:

Esse gráfico* foi feito através da solução da equação de Schröedinger para os elétrons do átomo de Hidrogênio. As "nuvens azuis" no desenho são a representação gráfica de uma função matemática (solução) que descreve uma densidade espacial de probabilidades. Ou seja, onde (em quais posições) é mais provável que os elétrons sejam encontrados. 

* Plots of Quantum Probability Density Functions in the Hydrogen Atom | Wolfram Demonstrations Project