A equação de Schrödinger é a formulação matemática central da mecânica quântica que descreve como o estado de um sistema quântico evolui no tempo. Em vez de fornecer trajetórias determinísticas, como na mecânica clássica, ela rege a evolução da função de onda chamada “psi”, objeto que contém todas as informações mensuráveis sobre o sistema. A partir dessa função extraímos probabilidades e expectativas de grandezas físicas.
Eis a equação de Schrödinger na sua forma compacta:
\begin{equation} \hat{E} \: \Psi = \hat{H} \: \Psi \end{equation}
Podemos ver 3 símbolos diferentes nessa equação. O $ \hat{E} $ que é chamado de operador energia. O $\hat{H}$ chamado de operador hamiltoniano. E a função de onda $ \Psi $.
O operador energia é definido pela seguinte expressão:
$$ \hat{E} = i\hbar \frac{\partial}{\partial t} $$
Enquanto o operador hamiltoniano:
$$\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + V$$
Se na equação (1) substituirmos os símbolos $ \hat{E} $ e $\hat{H}$ por suas respectivas definições apresentadas acima, temos o seguinte:
\begin{equation}i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi = \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + V \right] \Psi\end{equation}
Que tipo de equação é essa ? Vamos listar suas características. A equação de Erwin Schröedinger é uma...
• Equação diferencial
Igualdade que envolve uma função desconhecida e suas derivadas.
• Equação diferencial parcial
Equação com derivadas parciais em relação a mais de uma variável independente.
• Complexa
Função que assume valores complexos, com parte real e imaginária.
• Probabilística
A probabilidade de encontrar a partícula em certo lugar é igual ao quadrado do módulo da função $\Psi$ .
• Quadridimensional
A equação possui 4 variáveis independentes: x, y, z e t . É possível simplificar e torná-la independente do tempo. Ou até simplificá-la ainda mais considerando apenas uma dimensão espacial.
Além disso também envolve os seguintes conceitos:
• Comportamento ondulatório de uma partícula
Em mecânica quântica uma partícula é descrita por uma função de onda que representa a distribuição de probabilidades de suas propriedades no espaço e no tempo.
• Operadores
São ferramentas matemáticas que atuam sobre a função de onda para medir grandezas físicas; o operador hamiltoniano $\hat{H}$ representa a energia total do sistema e determina sua evolução temporal, enquanto o operador energia $\hat{E}$ quantifica a energia associada a um estado quântico específico.
Perguntas:
Qual o objetivo da equação de Schröedinger ?
A equação descreve o comportamento de partículas de tamanho atômico, ou seja, cerca de 100 milhões de vezes menor que 1 mm. Pode portanto descrever tanto o comportamento de átomos, como de elétrons, prótons, dentre outras partículas.
Quais informações são inseridas na equação ?
Informações sobre a “situação” da partícula, como sua massa e potencial elétrico ao qual está submetida.
Quais informações são obtidas após a resolução da equação ?
Onde a partícula tem mais chance de estar e quais energias ela pode ter.
Exemplo:
Quando resolvemos uma equação diferencial não encontramos um número como x = 3 , que poderia representar a posição de uma partícula. A solução de uma equação diferencial é uma função. Tal como y(x) = 2 * x + 1. Uma função fornece mais informações do que simplesmente um número. Ela fornece uma relação entre dois conjuntos numéricos.
No caso da equação que estamos tratando aqui, sua solução pode, por exemplo, fornecer as probabilidades de encontrarmos o elétron ( por exemplo ) em torno do átomo em diversas posições diferentes. Veja o gráfico a abaixo:
* Plots of Quantum Probability Density Functions in the Hydrogen Atom | Wolfram Demonstrations Project
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