Solução possível para o cálculo de área da figura central

 

O problema pode ser reduzido ao cálculo da integral da função y(x): $$ \int_{0}^{\tfrac{1}{2}} y(x)\,dx = \int_{0}^{\tfrac{1}{2}} 1\,dx - \int_{0}^{\tfrac{1}{2}} \sqrt{1 - x^{2}}\,dx $$  

Vamos calcular a integral definida: 

$$ \int_{0}^{1/2} \sqrt{1 - x^{2}} \, dx $$ 

Passo 1: usar substituição trigonométrica

Substituímos \(x = \sin\theta\), então \(dx = \cos\theta\,d\theta\) e \(\sqrt{1-x^2} = \cos\theta\):

$$ \int_{0}^{1/2} \sqrt{1 - x^{2}} \, dx = \int_{\theta=0}^{\theta=\arcsin(1/2)} \cos\theta \cdot \cos\theta \, d\theta = \int_{0}^{\pi/6} \cos^{2}\theta \, d\theta $$

 

Passo 2: aplicar a identidade trigonométrica \(\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}\)

$$ \int_{0}^{\pi/6} \cos^{2}\theta \, d\theta = \int_{0}^{\pi/6} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \, d\theta = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/6} (1 + \cos 2\theta) \, d\theta $$

 

Passo 3: integrar

$$ \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/6} (1 + \cos 2\theta) \, d\theta = \frac{1}{2} \Big[ \theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta \Big]_{0}^{\pi/6} $$

 

Passo 4: substituir os limites de \(\theta\)

$$ \frac{1}{2} \Big[ \frac{\pi}{6} + \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{3} - (0 + 0) \Big] = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{4} \right) $$

 

Passo 5: resultado final

$$ \int_{0}^{1/2} \sqrt{1 - x^{2}} \, dx = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{8} \approx 0.47831 $$

 

Portanto o resultado da integral de y(x) será aproximadamente igual a:

$$  0.5 -  0.47831 =  0.02169 $$

No desenho chamei essa área que acabamos de calcular de "a/2", ou seja, metade da área da "figura a". Imagine que o quadrado é uma espécie de quebra-cabeças montado. Observando as figuras (peças do quebra-cabeças) que compõe o quadrado é possível perceber que:

$$ 4 a + 4 b + A = 1 $$ 

Uma vez que conhecemos "a" , fica menos complicado descobrir a área "b". Pois:

$$ 1 - \frac{\pi R^2}{4}  =   2 a + b  $$

Lembrando que R = 1 . Isolando A, tem-se o seguinte resultado:

$$  A = 0,3151 $$